本文較為詳細(xì)地介紹半導(dǎo)體的能帶理論。

半導(dǎo)體能帶理論及結(jié)構(gòu)

半導(dǎo)體技術(shù)的持續(xù)發(fā)展得益于半導(dǎo)體理論在固體電子學(xué)(隨著固體器件特別是半導(dǎo)體集成電路的空前發(fā)展出現(xiàn)的一門(mén)新興學(xué)科)基礎(chǔ)上的建立與發(fā)展，其主要內(nèi)容可概括為研究半導(dǎo)體中載流子(carrier)按能量狀態(tài)的分布、躍遷(能量狀態(tài)的改變)和輸運(yùn)(能量的定向傳遞)。 本文會(huì)向大家較為詳細(xì)地介紹半導(dǎo)體能帶理論。 對(duì)于物質(zhì)劃分為導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體，主要依據(jù)是其電子狀態(tài)。 能帶理論：描述固體中電子按能量分布的狀態(tài)，從而對(duì)導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體從本質(zhì)上做出科學(xué)區(qū)分的理論。 能帶理論的基本觀點(diǎn)認(rèn)為任何固體中所有電子的能級(jí)并非按能量均勻分布，而是在某一能量范圍內(nèi)密集成帶，而與其鄰接的高、低兩個(gè)能量范圍卻是電子的能量禁區(qū)；或者說(shuō)固體中所有電子的允許能級(jí)皆按其所屬電子性質(zhì)的不同而密集成不同的能帶，能帶之間由稱為禁帶或能隙的能量禁區(qū)隔開(kāi)。

電子的波粒二象性

電子的波粒二象性是近代電子論從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面證明的，其內(nèi)涵是指電子及其運(yùn)動(dòng)既有粒子性特征，也有波動(dòng)性特征。通常用德布羅意關(guān)系來(lái)描述電子波粒二象性，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下: P=hk，E=hv 式中，k為波的特征參數(shù)波矢k，v為頻率，P，E分別對(duì)應(yīng)動(dòng)量和能量，h為普朗克常數(shù)。 2.自由空間中的電子和周期勢(shì)場(chǎng)中的電子 根據(jù)經(jīng)典力學(xué)中運(yùn)動(dòng)粒子能量與動(dòng)量的關(guān)系和上述德布羅意關(guān)系，可將自由空間中電子能量與動(dòng)量的關(guān)系表示為能量與波數(shù)(波矢)的關(guān)系: E(k)=(hk)^2/2m 這是一個(gè)拋物線型的以波數(shù)k為自變量的連續(xù)函數(shù)，式中m為電子性質(zhì)量。 考慮單個(gè)電子在一維周期勢(shì)場(chǎng)來(lái)概括固體中電子的運(yùn)動(dòng)環(huán)境，據(jù)此求解電子波函數(shù)的薛定諤方程，建立了能帶理論的基本構(gòu)架。結(jié)果表明，在一維周期勢(shì)場(chǎng)中，受周期勢(shì)場(chǎng)的擾動(dòng)，電子的E(k)函數(shù)在=±nπ/2a，n=1,2,3…處不連續(xù)、如下圖（圖1）所示：

圖1 真空與一維周期勢(shì)場(chǎng)中電子的E(k)關(guān)系 所謂能帶結(jié)構(gòu)，就是固體中電子的能量與動(dòng)量之間的關(guān)系，即函數(shù)E(k)。不涉及電子的動(dòng)量變化，只是能帶結(jié)構(gòu)的一種簡(jiǎn)易表示法，如下圖（圖2）所示：

晶體中出現(xiàn)一個(gè)由N條分裂能級(jí)構(gòu)成的s能帶，其N個(gè)價(jià)電子只能填滿下面一半能級(jí)，如(a)所示；絕對(duì)零度時(shí)，其4N個(gè)價(jià)電子恰好填滿能量較低的一個(gè)能帶(成鍵帶)，能量較高的能帶(反鍵帶)空著，如(b)所示；當(dāng)原子因?yàn)橛?個(gè)外層電子，其所有分裂能級(jí)都會(huì)被電子填滿，不會(huì)出現(xiàn)空狀態(tài)，如(c)所示。 而圖1，可以看做是一個(gè)理想一維晶體的E(k)關(guān)系。對(duì)于實(shí)際的三維晶體，其E(k)關(guān)系顯然要復(fù)雜得多。為了清晰反映某種材料能帶結(jié)構(gòu)的主要特征，通常只在動(dòng)量空間的兩個(gè)特征方向[譬如(100)方向和(111)方向]上畫(huà)出E(k)函數(shù)曲線。所謂主要特征，就是導(dǎo)帶E(k)函數(shù)的極小值和價(jià)帶E(k)函數(shù)的極大值。重點(diǎn)關(guān)注這些極值能量的高低、在k空間出現(xiàn)的位置以及極值處曲線的曲率。 綜上所述：固體中電子狀態(tài)之所以符合能帶理論這一特征既與電子的本性(即電子的波粒二象性)有關(guān)，也與固體這一電子所處的環(huán)境(即原子周期排列形成原子核對(duì)電子的周期性勢(shì)場(chǎng))有關(guān)。 在圖1中，虛線表示真空中電子的E(k)關(guān)系，實(shí)線表示周期勢(shì)場(chǎng)中電子的E(k)關(guān)系，是一個(gè)理想一維晶體的E(k)關(guān)系。而實(shí)際的三維晶體，其E(k)關(guān)系會(huì)復(fù)雜得多。 下圖分別是鍺、硅和砷化鎵三種半導(dǎo)體的能帶結(jié)構(gòu)圖：

圖中可見(jiàn)，實(shí)際材料的導(dǎo)帶E(K)曲線和價(jià)帶E(k)曲線都可能不只一條，每條曲線的極值也可能不只一個(gè)。決定材料禁帶寬度E(K)的是能量最低的導(dǎo)帶極小值(導(dǎo)帶底)與能量最高的價(jià)帶極大值(價(jià)帶頂)，而不管這兩個(gè)極值是不是對(duì)應(yīng)于同一個(gè)k。 上圖呈現(xiàn)了兩種躍遷：直接躍遷和間接躍遷。 間接躍遷：導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂對(duì)應(yīng)于不同的k，譬如硅和鍺，其電子躍遷前、后必有動(dòng)量變化，我們稱其為間接躍遷，相應(yīng)的禁帶叫間接禁帶。 直接躍遷：導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂對(duì)應(yīng)于同一個(gè)k，譬如像砷化鎵那樣，則電子躍遷前、后沒(méi)有動(dòng)量變化，稱為直接躍遷，這種能帶結(jié)構(gòu)的禁帶叫直接禁帶。 能帶結(jié)構(gòu)的另一關(guān)注點(diǎn)是它的對(duì)稱性。如果一個(gè)能帶極值不在k空間的中心，則必有若干等價(jià)極值存在于各對(duì)稱點(diǎn)。譬如硅的導(dǎo)帶底出現(xiàn)在(100)方向，有6個(gè)等價(jià)導(dǎo)帶底：鍺的導(dǎo)帶底出現(xiàn)在(111)方向，因此有8個(gè)等價(jià)的導(dǎo)帶底。 導(dǎo)帶底是導(dǎo)帶電子的最低能量，因此又叫能谷。有些材料的導(dǎo)帶還具有比導(dǎo)帶底略高一點(diǎn)的極小值并兼?zhèn)淦渌恍┨卣?，因而具有特殊的?shí)用價(jià)值，譬如砷化鎵。為了區(qū)別，在這種情況下把導(dǎo)帶底稱為主能谷，較高的極小值稱為次能谷。