這本書涵蓋了線性代數(shù)的各個(gè)方面，包括在最高級(jí)的本科教材中。從復(fù)向量空間、復(fù)內(nèi)積、正規(guī)算子的譜定理、對(duì)偶空間、商空間、極小多項(xiàng)式、約當(dāng)正則形式和弗羅貝尼烏斯（或有理）正則形式中解釋了所有常見的主題。關(guān)于行列式的一章作為最后一章被包括在內(nèi)，但它們并沒有在正文中作為一個(gè)整體來使用。不使用行列式的線性代數(shù)的另一種方法可以在〔Axler〕中找到。

　　這本書預(yù)期的先決條件是在矩陣代數(shù)中修一門下除法課程。這篇文章的一個(gè)很好的參考文獻(xiàn)是〔Bretscher〕。

　　在其他關(guān)于線性代數(shù)的書中，我認(rèn)為這本書與諸如〔Axler，Curtis，Halmos，Hoffman Kunze，Lang〕等書相比有一定的難度。如果你想考慮更具挑戰(zhàn)性的書，我建議你看研究生水平的書〔Gre〕。烏布，羅曼，瑟爾。

　　第一章包含了抽象向量空間和線性映射的所有基本內(nèi)容。線性映射的維數(shù)公式是理論上的亮點(diǎn)。為了促進(jìn)一些更具體的發(fā)展，我們涵蓋了矩陣表示、基的變化和高斯消元。線性獨(dú)立性通常在線性代數(shù)中引入得更早，直到本章的結(jié)尾。但在那里有詳細(xì)的介紹。我們還包含了關(guān)于雙空間和商空間的兩個(gè)部分，這些部分可以跳過。

　　第二章是關(guān)于線性算子的理論。線性微分方程用于激勵(lì)引入特征值和特征向量，但這種激勵(lì)可以忽略。然后，我們解釋如何使用高斯消元來計(jì)算矩陣的特征值和特征向量。這用于了解有限維空間上的線性算子如何和何時(shí)可對(duì)角化的基本知識(shí)。我們還引入了最小多項(xiàng)式，并用它給出了對(duì)角化算子的經(jīng)典刻畫。在后面的章節(jié)中，我們給出了一個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的凱萊-漢密爾頓定理和循環(huán)子空間分解的證明。這很快導(dǎo)致了弗羅貝尼烏斯范式。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式是關(guān)于如何在線性映射不可對(duì)角化的情況下找到簡(jiǎn)單矩陣表示的最一般的結(jié)果。前倒數(shù)第二節(jié)的解釋表明，弗羅貝尼烏斯規(guī)范形式暗示了約旦-切瓦利分解和約旦-魏爾斯特拉斯規(guī)范形式。在最后一節(jié)中，我們提出了一個(gè)快速而基本的史密斯正規(guī)形式的方法。這種形式允許我們使用基本的行和列操作直接計(jì)算具有多項(xiàng)式項(xiàng)的矩陣的所有相似度不變量。

　　第三章包括關(guān)于內(nèi)部產(chǎn)品空間的材料?？挛?施瓦茲不等式及其對(duì)貝塞爾不等式的推廣，以及它們?nèi)绾闻c正交投影相聯(lián)系，構(gòu)成了本章的理論核心。在此過程中，我們通過格拉姆-施密特程序，以及正交互補(bǔ)和正交投影，討論了正交堿基及其存在的標(biāo)準(zhǔn)事實(shí)。本章還包含了線性映射鄰接的基本元素，以及它對(duì)正交投影的一些用途，因?yàn)檫@與正交基很好地聯(lián)系在一起。最后，我們將討論矩陣指數(shù)和微分方程組。

　　第四章對(duì)內(nèi)積空間之間的線性映射理論進(jìn)行了深入的探討。最重要的結(jié)果當(dāng)然是自伴算符的譜定理。該定理用于建立實(shí)、復(fù)正規(guī)算子的正則形式，給出了一元、正交、斜伴隨算子的正則形式。應(yīng)該指出的是，譜定理的證明不依賴于我們使用的是實(shí)尺度還是復(fù)尺度，也不依賴于特征多項(xiàng)式或極小多項(xiàng)式。忽略我們先前關(guān)于對(duì)角化性的材料的原因是，我們希望有一個(gè)更容易概括為無限維的理論。使用特征多項(xiàng)式和極小多項(xiàng)式的常用證明可歸結(jié)為練習(xí)。本章的最后部分包括奇異值分解、極性分解、復(fù)線性算子的三角化（舒爾定理）和二次型。

　　第5章介紹了行列式。在這一點(diǎn)上，引入行列式似乎幾乎是無用的，因?yàn)槲覀冊(cè)诓恍枰那闆r下，已經(jīng)討論了這個(gè)理論。行列式雖然不是必不可少的，但在給出特征多項(xiàng)式的清晰定義時(shí)非常有用。它也是有限維算子最重要的不變量之一。它有幾個(gè)很好的性質(zhì)，并給出了一個(gè)很好的判斷何時(shí)一個(gè)算符是可逆的。它還可以方便地給出線性系統(tǒng)解的公式（克萊默法則）。最后，我們討論了它在線性微分方程理論中的應(yīng)用，特別是與非齊次方程解的參數(shù)變化公式有關(guān)。我們利用體積形式自由地定義了線性算子的行列式。除了證明存在體積形式之外，這還提供了一種不使用置換來證明行列式所有性質(zhì)的相當(dāng)好的方法。它還具有自動(dòng)給出行列式的置換公式的額外好處，因此表明置換的符號(hào)定義良好。

　　在第一章中，我們將討論向量空間、線性映射和子空間的定義。此外，我們還介紹了一些重要的概念，如基、維、直和、線性映射的矩陣表示、線性映射的核和圖像。我們將證明線性映射的維數(shù)定理，它將域的維數(shù)與核和圖像的維數(shù)聯(lián)系起來。我們給出了高斯消元，以及它如何與更抽象的理論聯(lián)系在一起。這將用于定義和計(jì)算第2章中的特征多項(xiàng)式。重要的是要注意教派。1.13和1.12包含本章某些重要結(jié)果的替代證明。因此，在討論了宗派同構(gòu)之后，有些人可能會(huì)想直接進(jìn)入這些章節(jié)。1.8然后回到遺漏的部分。由于歸納法將在許多證明中發(fā)揮重要作用，我們?cè)诘谝还?jié)中選擇了對(duì)這個(gè)主題說一些事情。